Mathematische Knobelei |
14.03.2008
Lösungsvorschlag
Parlamentarische Hack- und Sitzordnung
Gewinn
Gewinner
Peter Blohm
Vermutlich wird die Debatte erst so richtig in Schwung kommen, wenn anhand ästhetischer Gesichtspunkte und des Quadratmeterpreises ein bestimmter Teppich ausgewählt werden soll. Wirkteppich, Knüpfteppich oder maschinengewebt? Und vor allem: welche Farbe?
Da ist es ja noch recht angenehm, sich mit der handfesten geometrischen Grundlage zu beschäftigen. Die Fläche des Teppichs errechnen wir schlussendlich über den Radius, geben wir ihm gleich einen Buchstaben und nennen ihn x.
Immerhin haben wir den Radius der großen Halbkreise: r = 10 Meter. Wir bilden nun ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Hypotenuse als Endpunkte die Mittelpunkte zweier benachbarter Seiten des großen Quadrates hat. Die anliegenden Katheten treffen sich im Mittelpunkt des Quadrats, der gleichzeitig Mittelpunkt des Teppichkreises ist. Von diesem Dreieck kennen wir nun einige Maße. Die Hypotenuse setzt sich zusammen aus den Radien der benachbarten großen Kreise, die sind beide r = 10 Meter, die Hypotenuse hat mithin eine Länge von r + r = 20 Meter. Die Katheten setzen sich jeweils aus dem gesuchten Radius x und dem bekannten r zusammen. Da bietet sich ein Blick auf Pythagoras an, der bei solchen Aufgaben ohnehin ganz oben im Werkzeugkasten liegt. Für unser Dreieck gilt:
(x + 10)² + (x + 10)² = 20²
Stellen wir ein wenig um, um eine Aussage für x zu erhalten:
2 · (x + 10)² = 400
(x + 10)² = 200
x + 10 = √200
x = (√200) – 10
Damit muss nur noch in die Formel zur Berechnung der Kreisfläche, A = r² · π, herangezogen werden, und es ergibt sich:
A = [(√200) – 10]² · π
A ≈ 53,87 m²
Dietmar Viertel hat dieses schöne Schaubild angefertigt. Die schwarze Linie im Mittelkreis ist unser x, die rote entspricht dem Radius r
