Mathematische Knobelei |
15.02.2008
Lösungsvorschlag
Abi mit zwölf
Gewinn
Gewinner
Katharina Ruhbaum
Eines ist klar: 10 000 Zahlen zu notieren, um zu testen, für wie viele AB + C + D = CD gilt, würde zu lange dauern. Und viel Zeit bleibt nicht. Strengen wir uns also an, immerhin geht es um nichts Geringeres als die Zukunft der Menschheit!
Sehen wir uns die Sache mal etwas genauer an. Sind es wirklich 10 000 Zahlen? Natürlich nicht. 0001 ist zum Beispiel keine vierstellige Zahl. Ebenso wenig 0999. Die erste vierstellige Zahl ist die 1000, es verbleiben damit nur noch 9000 Stück. Jede von ihnen hat die Form ABCD. Wenn man das als Summe schreibt, wird es deutlich komfortabler zu handhaben:
ABCD = 1000⋅A + 100⋅B + 10⋅C + D
Wie schon angemerkt, gilt A ≠ 0, also gilt A ∈ {1, … , 9}. B, C und D sind dann sind dann ∈ {0, … , 9}. Damit können wir die Aufgabenstellung in einer vernünftigen Gleichung formulieren: 10 ⋅ A + B + C + D = 10⋅C + D.
Das lässt sich vereinfachen, indem wir auf beiden Seiten D subtrahieren, damit verbleibt: 10⋅A + B + C = 10⋅C
Formen wir noch ein bisschen um und bugsieren alle Cs auf die rechte Seite, dann bekommen wir 10⋅A + B = 9⋅C.
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Wenn wir nun für A alle Varianten ausprobieren, zeigt sich, dass es für jedes A genau eine Lösung für B und C gibt. Eine Ausnahme bildet A = 9, denn dazu müsste C ≥ 10 sein und 10 ∉ {0, … , 9}. Es bleiben acht Kombinationen übrig: 182, 273, 364, 455, 546, 637, 728 und 819. Da hinter jeder dieser ABC-Zahlen noch ein beliebiges D stehen kann, müssen wir die acht Möglichkeiten noch mit 10 multiplizieren.
Damit haben wir eine Lösung: Es gibt 80 vierstellige Zahlen, die die gewünschte Eigenschaft erfüllen. Jetzt aber endlich einen Teddy!
