Hartmut Rimann, Augsburg
Henry Handrich, Magdeburg
Liane Mayer, Wien
Silke Möser, Groß-Umstadt
Acht kleine Würfel können das räumliche Vorstellungsvermögen schon ordentlich strapazieren - erst recht, wenn man unter Druck steht. Wir helfen Ihnen, ein wenig Ordnung in das Würfelchaos zu bringen.
Wie viele verschiedene Würfel kann man aus acht verschiedenen kleinen Würfeln zusammensetzen? Das ist die erste Frage. Nummerieren wir die acht Farben am besten gleich durch. Würfel Nummer eins kann alle acht Plätze des zu bauenden Würfels einnehmen. Das sind acht Möglichkeiten. Verbleiben sieben Würfel und sieben Plätze. Für den zweiten Würfel gibt es damit sieben Möglichkeiten, für den dritten sechs und so weiter. Der letzte Würfel muss auf den letzten Platz, dass ist dann nur noch eine Möglichkeit. Die Möglichkeiten werden multipliziert, das macht dann 8! = 40320 Möglichkeiten zum Zusammensetzen des Würfels.
Leider ist es nicht ganz so einfach. Wir können den Würfel schließlich auf verschiedene Weise drehen und so eine Menge Kombinationen wieder in sich selbst überführen. Wenn wir aber wissen, in wie viele verschiedene Positionen ein Würfel gedreht werden kann, müssen wir 8! nur noch durch diese Zahl teilen und schon ist das Ergebnis bereinigt. Die für uns interessanten Drehungen sind die gleichsinnigen Deckbewegungen. Das heißt, dass die Drehung den Würfel auf sich selbst abbildet – er steht genau so da wie vorher, nur die Seiten sind vertauscht.
Es gibt drei Achsen, um die man einen Würfel drehen kann. Die erste verläuft von Mittelpunkt zu Mittelpunkt je zweier gegenüberliegender Seiten. Das entspricht dem schlichten Umkippen des Würfels. Sechs Seiten ergeben drei solche Achsen. Gedreht werden kann um 90°, 180° und 270°, gibt 3·3 = 9 Möglichkeiten. Man spricht von vierzähligen Drehachsen (wir hatten die Startposition nicht mitgezählt). Eine zweite Drehachse die eine Deckbewegung ermöglicht, befindet sich zwischen je zwei sich gegenüberliegenden Ecken. Das ist die Diagonale eines Würfels. Davon gibt es vier Stück. Wenn man den Würfel aber um 90° dreht, steht er schief da, das ist keine gewünschte Deckbewegung. Erst bei einer Drehung um 120° steht der Würfel wieder ordentlich da, ebenso bei 240°. Die vier Würfeldiagonalen sind also dreizählige Drehachsen, macht (wieder abzüglich der Startposition) 4·2 = 8 Möglichkeiten, den Würfel zu drehen. Die dritte Art Drehachsen führt von Mittelpunkt zu Mittelpunkt je zweier sich gegenüberliegender Kanten. "Gegenüber" heißt von den drei parallel verlaufenden Kanten die am weitesten entfernte. Hier können wir den Würfel nur noch um 180° drehen, zwölf Kanten geben sechs Kantenpaare, also sechs zweizählige Drehachsen, macht 6·1 = 6 Möglichkeiten. Nicht vergessen dürfen wir die Identität, das ist die bisher vernachlässigte Startposition, oder die Drehung um 360°. Insgesamt haben wir damit 9+8+6+1 = 24 Möglichkeiten.
Dividieren wir nun die 8! durch 24, verbleiben 1680 Möglichkeiten. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, bei dieser Zahl von Möglichkeiten die richtige Kombination bei drei Versuchen herauszubekommen? Dazu dividieren wir einfach die Anzahl der Versuche durch die Anzahl der Möglichkeiten:
3/1680 = 1/560 ≈ 0,18%
Die Chance liegt also bei knapp zwei Promille – nicht sonderlich hoch, aber immerhin besser als beim Lottospiel. Aber ob man das Risiko eingehen möchte, dass die Wohnung im Falle dreier Fehlversuche mit Epoxydharz geflutet wird? Also vielleicht doch besser den Schlüsseldienst rufen!
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