Mathematische Knobelei |
16.03.2007
Lösungsvorschlag
Die da Vinci-Verschwörung
Gewinn
Gewinner
Helmut Willrett, Ditzingen
Haben Sie herausgefunden, welche Manöver Christoph Kolumbus seinerzeit im Kubus-Archipel gesegelt ist? Gibt es wirklich eine bis dato unbekannte Verbindung zu Leonardo da Vinci? Fragen über Fragen. Wenigstens einige Rätsel konnten wir für Sie lösen.
Gesucht sind Dreiecke, die durch die Inseln des Kubus-Archipel aufgespannt werden und zudem einen ganzzahligen Flächeninhalt besitzen. Dabei interessiert uns vor allem, wie viele solche Dreiecke mit unterschiedlichem Flächeninhalt es gibt.
Das kleinste Dreieck wird sicherlich durch drei "über Eck" benachbarte Inseln aufgespannt. Die Fläche lässt sich über folgende Formel berechnen:
Fläche = Grundseite·Höhe/2
Da der Abstand der Inseln jeweils 2 Seemeilen entspricht, ergeben sich 2 Quadrat-Seemeilen für die umfahrene Fläche. Das größte Dreiecke wird entsprechend durch die drei am weitest entfernten Inseln beschrieben, die an den Ecken des Archipels sitzen. Hier berechnen wir eine Fläche von 18 Quadrat-Seemeilen.
Neben diesen beiden Dreiecken gibt es vier weitere rechtwinklige Dreiecke, deren Flächeninhalte sich nach obiger Formel schnell berechnen lassen. Die Flächeninhalte sind hier 4, 6, 8 und 12 Quadrat-Seemeilen.
Durch etwas Ausprobieren finden wir auch Dreiecke mit dem Flächeninhalt 10, 14 beziehungsweise 16 Quadrat-Seemeilen (siehe Abbildung). Berechnen lässt sich deren Fläche beispielsweise über den Satz des Heron:
F = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
s = (a+b+c)/2
Hier sind a, b und c die Seiten des Dreiecks, und s ist sein halber Umfang. Die Seiten lassen sich wiederum über den Satz des Pythagoras aus der Lage der Inseln in dem xy-Raster ermitteln.
Insgesamt gibt es also 9 Dreiecke mit unterschiedlichen, ganzzahligen Flächeninhalten, die durch die Inseln des Archipels aufgespannt werden.
