Mathematische Knobelei |
17.11.2006
Lösungsvorschlag
Elf Freunde sollt ihr sein
Gewinn
Gewinner
Matthias Noah, Sülzetal
Endlich wissen wir, wie das Fußballspiel entstanden ist. Und obendrein werden wir der erstaunlichen mathematischen Fähigkeiten des gemeinen Steinzeitlers gewahr.
Gesucht ist eine durch 11 teilbare Zahl x, deren Division durch die Zahlen 2 bis 10 jeweils einen Rest von 1 liefert. Wie finden wir diese Zahl? Überlegen wir zunächst, wie eine Zahl aussehen müsste, die ohne Rest durch die Zahlen 2 bis 10 teilbar ist. Das wäre das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und alle seine ganzzahligen Vielfachen. Um das kgV zu finden zerlegen wir die Zahlen 2 bis 10 erst einmal in ihre Primfaktoren:
2
3
4 = 22
5
6 = 2·3
7
8 = 23
9 = 32
Das kgV ist dann das Produkt aller Primfaktoren:
kgV(2...10) = 23·32·5·7 = 2520
Mit 2520 haben wir nun die kleinste Zahl gefunden, die durch die Zahlen 2 bis 10 teilbar ist. Eine Zahl x die durch all diese Zahlen nur mit einem Rest 1 zu teilen ist, hat also entsprechend diese Form:
x = 2520m+1
Wobei m eine natürliche Zahl ist.
Nun soll x durch 11 teilbar sein, das stellen wir folgendermaßen dar durch die Modulo-Funktion dar:
(x mod 11) = 0
Das heißt, die Division x durch 11 liefert den Rest 0. Setzen wir den Ausdruck für x ein:
((2520m+1)mod11)=0
Vereinfachen wir diesen Ausdruck noch ein wenig und bestimmen die natürlichen Zahlen m, welche die Gleichung lösen:
((m+2519m+1)mod11) = 0
((m+1)mod11) = 0
m = 10, 21, 32, 43,... = 11n+10
Hier ist n eine beliebige natürliche Zahl inklusive der 0. Setzen wir nun diesen Ausdruck für m in unsere Gleichung für x ein, so erhalten wir alle möglichen Zahlen, die den Bedingungen genügen:
x = 2520(11n+10)+1
Die kleinste Zahl wäre damit 25201. So viele Brocken mussten die Steinzeitrecken also mindestens wegräumen, für jeden waren es immerhin 2291 Steine - Hauptsache es ging fair zu im alten England!
