Mathematische Knobelei |
18.08.2006
Lösungsvorschlag
Rotierendes Schlachtenglück
Gewinn
Gewinner
Thomas Hahn, Brackel
Armin Raible, Markdorf
Henry Handrich, Magdeburg
Ulrich Berntien, Langenfeld
Hartmut Riman, Augsburg
Liebe Knobelisten,
bei der am 19. August zuerst veröffentlichten Lösung zur Mathematischen Knobelei "Rotierendes Schlachtenglück" ist uns leider ein Fehler unterlaufen. Hier nun die richtige Version.
Schauen wir uns zunächst die Schlachtordnung an: Die Schilde stehen dicht an dicht und sind von oben betrachtet auf einem Dreiecksgitter angeordnet. Jedes Schild hat in diesem Arrangement sechs nächste Nachbarn, von den Schilden am Rand und denen an den Ecken einmal abgesehen. Oder anders ausgedrückt: Rollen wir ein Schild an dem Rand eines anderen ab, dann erreichen wir die nächste Position im Gitter durch eine Drehung um ein Sechstel einer Volldrehung. Dabei rotiert der bewegte Schild auch entsprechend eine Sechsteldrehung um seinen Mittelpunkt. In Summe vollführt der bewegte Schild durch Eigenrotation und Bahnbewegung also eine Drehung um zwei mal ein Sechstel, also ein Drittel oder 120 Grad.
Betrachten wir nun, welche Positionsänderungen der Schild des Anführers vollzieht. Da wäre zunächst die Drehung um den Schild des Legionärs direkt hinter dem Befehlshaber - in der Zeichnung mit a) gekennzeichnet. Offensichtlich sind es genau zwei Züge, die den Kommandanten zum nächsten Schild bringen. Das heißt, hierbei dreht sich der Schild des Anführers um zweimal ein Drittel. Von diesem Schild zum nächsten Randschild ist es dann genau ein Zug - also eine Drehung um ein Drittel - dargestellt als Fall b). Schließlich verbleibt nur noch die Möglichkeit c): Der Anführer braucht drei Züge, um den Schild links unten in der Formation zu umrunden. Also muss er seinen Schild und damit seine Blickrichtung um dreimal ein Drittel, also genau eine Volldrehung ändern.
Nun brauchen wir nur noch zu zählen, wie häufig die Fälle a), b) und c) vorkommen, bis der Kommandant wieder seine Ursprungsposition eingenommen hat. Das sind im einzelnen 2 (a), 7 (b) und 2 (c) Züge. In Summe dreht sich der Kommandant also um folgenden Winkel:
2*2/3+7*1/3+2*1=17/3=5+2/3
Demnach fehlt also genau eine Dritteldrehung zur Vollendung der sechsten Volldrehung. Der Kommandant guckt also 120 Grad nach rechts unten, vorausgesetzt er hat vor der Optio-Rolle nach vorn geschaut. Na denn, die Winkelkorrektur eingegeben und Abmarsch durch die gerenderte Pixelwelt!
