Mathematische Knobelei |
24.04.2006
Lösungsvorschlag
Jeder nur ein Kreuz
Gewinn
Gewinner
Dr. Michael König, Rimbach
Hartmut Riman, Augsburg
Wolfgang Fischer, Schlägl (Österreich)
Michael Baldus, Möhnesee
Sylvia Weber, Brakel
Hätte der Koch doch einmal seinen Mund gehalten, dann hätte Bruder Exactus vielleicht nicht das Weite suchen müssen. Denn krumme Zahlen mögen die ehrwürdigen Herren beim Konvent überhaupt nicht. Nun ja, wenigstens wissen wir jetzt, wie viel Pudding der Klosterkoch an jenem denkwürdigen Abend anrühren musste.
Um die Fläche des Kreuzes und damit die Anzahl der Klosterbrüder zu ermitteln, berechnen wir am besten zunächst die Fläche des Kreises und ziehen dann die vier Zwickel ab. Schauen wir uns die Skizze des Emblem-Entwurfs gut an, dann stellen wir fest, dass durch den Radius des Kreises, die Strecke x sowie die Strecke x zuzüglich einer Zwickelseite ein rechtwinkliges Dreieck aufgespannt wird. Eine Ecke ist identisch mit dem Kreismittelpunkt, eine weitere liegt auf dem Kreisradius und die dritte liegt auf der Verbindungsstrecke 2x zwischen zwei Zwickelecken.
Es gilt also:
52 = (x+1)2 + x2
0 = x2 + x - 12
x = 3 oder x = -4
Da x nur positiv sein kann, kommt nur die 3 als Lösung in Frage.
Sei der Winkel der durch die Bögen an den Enden des Kreuzes beschrieben wird sei 2alpha. Dann gilt in dem rechtwinkligen Dreieck, das durch Radius, die Strecke x sowie der Senkrechten auf x durch M aufgespannt wird:
sin(alpha) = 3/5
Das heißt:
alpha = 36,87°
Den Winkel 2beta, der zum Bogen des Zwickels gehört, erhalten wir dann folgendermaßen:
2beta = 90 - 2alpha = 16,26°
Damit können wir die Fläche des "Tortenstücks" bestimmen, dessen Ende der Zwickel bildet:
FTortenstück = beta * 52 * Pi / 180 = 3,55
Nun würden wir allerdings zu viel von der Kreisfläche abziehen, wenn wir viermal das Tortenstück subtrahieren. Um die Fläche eines Zwickels zu bestimmen, müssen wir vielmehr von dem Tortenstück, die zwei kleinen Dreiecksflächen abziehen, die von einer Zwickelseite, dem Radius und der Strecke zwischen rechtwinkliger Zwickelecke und Mittelpunkt aufgespannt werden. Die Basis dieser Dreiecke ist 1 die Höhe ist x also 3. Das heißt für die Zwickelfläche gilt:
FZwickel = FTortenstück - 3 = 0,55
Somit ist also die Fläche des Kreuzes:
FKreuz = 52 * Pi - 2,19 = 76,35
Das Kreuz ist also 76,35 Quadratzoll groß. Da Abt und Ordensvorstand bereits zum Konvent abgereist waren, brauchte der Koch also nur noch 74 Puddingportionen zubereiten.
