Bianca Rubel, Wuppertal
Walter Hohenberger, Villach (Österreich)
Christian Pajung, Darmstadt
Edmund Simmet, Olching
Sandra Klotzbach, Neustadt
Wir möchten doch hoffen, dass die vertrackte Achteckrechnerei unseren Lesern keine schlaflosen Nächte bereitet hat. Es reicht schließlich, wenn unser namenloser Protagonist sich damit wider Willen quälen musste. Andernfalls lesen sie lieber gleich die Lösung.
Gegeben sei ein großes Achteck mit der Seitenlänge a. Das kleine Achteck wird wie beschrieben konstruiert, seine Seitenlänge sei c. Die Hilfsstrecke b ergibt sich schließlich durch die sich senkrecht schneidenden Geraden im Inneren des großen Achtecks.
Berechnen wir zunächst die Fläche F1 des großen Achtecks. Dieses setzt sich offenbar aus einen Quadrat im Inneren sowie vier Rechtecken und vier rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Damit gilt für die Fläche F1:
F1 = a2+4ab+2b2
Versuchen wir b durch a auszudrücken. Aufgrund des Satzes von Pythagoras erhalten wir:
a2 = 2b2 b = 1/2 Wurzel(2) a
Damit ergibt sich für die Fläche F1:
F1 = 2(1+Wurzel(2))a2
Für das kleine Achteck errechnet sich entsprechend die Fläche F2:
F2 = 2(1+Wurzel(2))c2
Nun müssen wir nur noch c in Abhängigkeit von a berechnen. Es gilt:
c = 2b+a-2a c =(Wurzel(2)-1)a
Damit ist Fläche F2:
F2 = 2(1+Wurzel(2)) (Wurzel(2)-1)2a2
Die Flächen stehen in folgendem Verhältnis zueinander:
F2/F1 = (Wurzel(2)-1)2
Das heißt F2 ist:
F2 = (Wurzel(2)-1)2F1
Mit F1 = 100 ergibt sich für das kleine Achteck gerundet 17.
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