Mathematische Knobelei |
23.12.2005
Lösungsvorschlag
"... auch nicht in die Nase!"
Gewinn
Gewinner
Michael Baldus, Möhnesee
Detlef Fehrer, Waldkirch
Hans-Jürgen Kraus, München
Silke Möser, Darmstadt
Armin Raible, Markdorf
Hoffentlich sind Ihre Nichten und Neffen nicht so nervenaufreibend wie in unserer Knobelei. Denn die ein oder andere ruhige Minute werden Sie sicherlich für die Nullenzählerei gebraucht haben. Allen gestressten Eltern, Tanten und Onkel nehmen wir selbstverständlich die Arbeit ab und präsentieren hier nun die Lösung.
Zwei Aufgaben sind zu lösen: Zum einen ist die Anzahl der Nullen zu bestimmen, die für die Zahlen 1 bis einschließlich 2000 benötigt werden. Zum anderen ist die Anzahl der Zahlen in diesem Intervall gesucht, die überhaupt eine Null enthalten.
Schauen wir uns die erste Aufgabe an. Eine Möglichkeit der Lösung besteht darin, sich nacheinander alle Stellen der Zahl vorzunehmen und zu zählen, wie häufig hier die Null auftaucht. An letzter Stelle tritt die Null alle zehn Zahlen auf - eben jede Zahl, die durch Zehn teilbar ist. Das macht zwischen 1 und 2000 also genau 200 Nullen an letzter Stelle.
An vorletzter Stelle kommt die Null bei allen vollen Hundertern vor (100, 200, 300, ... 2000), wobei auch die neun darauffolgenden Zahlen die Null an der Zehnerstelle behalten: 100, 101, 102, ... 109. Volle Hunderter gibt es bis 2000 genau 20. Allerdings müssen wir beachten, dass bei 2000 Schluss ist, und wir darauffolgende Zahlen nicht mehr zählen dürfen. Die dritten Stellen der Zahlen liefern also:
19·10+1 = 191
An der zweiten Stelle steht zuerst bei vollen Tausendern eine Null. Davon gibt es genau zwei: 1000 und 2000. Auf die 2000 folgen keine weiteren Zahlen, auf die 1000 sehr wohl. Die nächsten 99 Zahlen haben alle eine Null an zweiter Stelle. Der Beitrag der zweiten Stelle ist also:
100+1 = 101
Da die erste Stelle, die Tausenderziffer, keinen Beitrag zu den Nullen liefert, ergibt sich schließlich in Summe:
200+191+101 = 492
So viele Nullen müssten also ersetzt werden.
Zum zweiten Aufgabenteil. Schauen wir zunächst, wie viele zweistellige Zahlen mit einer Null es gibt: Es sind offenbar 9: 10, 20, 30, 40,... 90.
Nun zu den dreistelligen. Schauen wir uns dazu exemplarisch die Zahlen zwischen 100 und 199 an. Folgende Zahlen mit mindestens einer Null gibt es:
100, 101, 102, ... 109 - das sind 10
110, 120, 130, ... 190 - das sind 9
Macht also 19 Zahlen.
Ähnliches gilt nun auch für die Zahlen 200 bis 299, 300 bis 399 und so weiter bis schließlich 900 bis 999.
Wir haben also von dreistelligen Zahlen folgenden Beitrag:
(10+9)·9 = 171
Kommen wir schließlich zu den vierstelligen Zahlen. Hier erhalten wird direkt zu Anfang 100 Zahlen mit mindestens einer Null: 1000, 1001, 1002, ... 1099. Ab 1100 erhalten wir jedoch dasselbe Ergebnis wie bei den dreistelligen Zahlen - also 171. Verbleibt nur noch die 2000 selbst, die natürlich auch Nullen enthält. Macht in Summe also:
100+171+1 = 272
Insgesamt haben wir zwischen 1 und 2000 also 9+171+272 = 452
Damit sind beide Aufgaben gelöst. Sollen nur die Nullen getauscht werden, dann sind 492 Ziffern zu überkleben. Wird gleich der ganze Aufkleber ersetzt, dann wären 452 Zahlen betroffen.
