Mathematische Knobelei |
13.11.2009
Lösungsvorschlag
Frühzeitlicher Getreidewucher
Ob unter den Einsendern der Lösung auch Nachkommen jener einst verkauften Rechensklaven waren? Die vielen richtigen Ergebnisse deuten fast darauf hin (obwohl uns in der Aufgabenstellung ein kleiner Zahlendreher unterlaufen war: 6·12 ist natürlich 72, nicht 78, wir bitten um Entschuldigung).
Wie also bekommen wir diese erwartungsgemäß riesengroße Zahl zu fassen? Antwort: durch viele, viele kleine Zahlen und zwar die der untersten Reihe der Pyramide. Alle Zahlen "darüber" sind ja Produkte aus Zahlen darunter. Wie oft jede Zahl als Faktor zum Einsatz kommt, lässt sich der Pyramide entnehmen, die am Ende dieser Lösung steht. Und zwar der untersten Zeile, weil unsere Pyramide aus zehn Reihen besteht.
Nun, da wir wissen, wie oft jeder Faktor vorkommt, können wir sie zum Einsatz kommen lassen. Nennen wir die Gesamtzahl der Getreidekörner G, so gibt das folgende Gleichung:
G = 11·29·336·484·5126·6126·784·836·99·101
Das lässt sich in eine logarithmische Darstellung umwandeln, also in G = 10log10(G). Nach dem Logarithmusgesetz für Multiplikationen kann man die Klammer im Exponenten auflösen und in eine Summe umwandeln, also in log10(11) + log10(29) + ... + log10(101).
Das Ergebnis dieser Summe ist ungefähr 369,66361 - also gilt G = 4,609 · 10369. Der Exponent entspricht dabei der Anzahl der Stellen, die das Zahlenmonster G aufzuweisen hat, 370 ist die Antwort.
