Musiktheorie

Melodien multidimensional

Musik kann nicht nur sch�n klingen - sie sieht auch gut aus. Und obendrein verr�t die geometrische Umsetzung von Kl�ngen und Klangfolgen einiges �ber die Vorlieben westlicher Komponisten. Beispielsweise, dass sie besonders gerne die oberen Teile von Pyramiden verwenden.

Eigentlich ist Klavierspielen ganz einfach – Taste dr�cken, und es kommt ein Ton. Mit einem allein geben sich Komponisten und Musiker allerdings selten zufrieden, es darf schon mehrstimmig klingen – und das bitte wohl, nicht wehe. Wenn sich dann zum Klavier noch weitere Instrumente gesellen, ist es fast schon ein Wunder, dass die meisten St�cke dennoch angenehm anzuh�ren sind, obwohl die vielen Stimmen keineswegs zur selben Zeit dieselben T�ne spielen.

Zum Gl�ck greifen sie jedoch alle auf das gleiche Repertoire zur�ck. c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, b, h – mehr Variabilit�t hat eine gew�hnliche Tonleiter nicht zu bieten. Nach dem h folgt wieder ein c, das allerdings eine Oktave h�her liegt. Womit die T�ne eine Folge diskreter "Werte" bilden und folglich Objekt der analytischen Begierde von Mathematikern sind.

Mit Eifer untersucht die Musiktheorie die Beziehungen von T�nen, die auf einem oder mehreren Instrumenten gleichzeitig oder als Melodie nacheinander erklingen. F�nferlei Ereignisse k�nnen dabei von einem dieser musikalischen Objekte zum n�chsten vorkommen: Ein einzelner der T�ne k�nnte um eine Oktave verschoben werden, was mit einem gro�en O f�r octave shift gekennzeichnet wird. Au�erdem k�nnten die Teile in eine andere Reihenfolge gebracht (P f�r permutation), alle zusammen auf die gleiche Weise verschoben (T f�r transposition), die Abst�nde umgedreht (I f�r inversion) und/oder das gleiche Objekt dupliziert werden (C f�r cardinality change). Zusammen gelesen ergeben die Kurzformen dieser Transformationen das sprechende Wort "Optic", in deren Licht sich die Entwicklung eines beliebigen Musikst�cks beschreiben l�sst.

In Zahlen oder Diagrammen sieht so eine mathematisierte Melodie erwartungsgem�� abstrakt aus und l�sst sich allenfalls von wenigen Experten interpretieren. Ein klein wenig anschaulicher – und vor allem viel sch�ner – wird der Datensatz dann, wenn man ihn geometrisch so darstellt, wie es Dmitri Tymoczko von der Princeton University und seine Kollegen nun getan haben.

Beispielsweise wiesen sie einem Akkord aus drei T�nen einen Punkt in einem dreidimensionalen Raum zu, indem jede der drei Noten eine Koordinate festlegte. F�r alle denkbaren Akkorde ergibt das eine F�lle von Punkten, die sich nach ihren Eigenschaften miteinander zu Klassen verkn�pfen lassen, und in denen die Optic-Transformationen visuell sichtbar werden. Eine Transposition etwa wird zu einer Verschiebung, eine Permutation zu einer Spiegelung.

Der Vergleich von geometrisierten St�cken verschiedener Komponisten wie Mozart und Beethoven verr�t, dass bei aller Verschiedenheit die Musik trotzdem h�ufig eine �hnliche Entwicklung durchl�uft. Auf Akkord X folgt gerne ein verwandter Akkord Y. Und selbst deren interner Aufbau bewegt sich stets in einem engen Rahmen, der nahe am so genannten "�berm��igen Dreiklang" (beispielsweise c, e und gis) liegt. In der r�umlichen Projektion ist dies die Spitze der Pyramide, deren Basis aus gleichartigen T�nen sich westliche Komponisten kaum n�hern.

Als einfacher Detektor f�r abgedroschene musikalische Phrasen ist die geometrische Auftragung aber leider nicht zu gebrauchen. Denn mit jedem Objekt, das betrachtet werden soll, kommt eine neue Dimension hinzu, so dass aus Pyramiden schnell Hyperraumobjekte werden, die orbifold hei�en und lediglich den Mathematikern unter den Musikliebhabern noch Freude machen. Dennoch k�nnten Musiktheoretiker mit dem neuen mathematischen Instrument eventuell neue Entdeckungen machen – und ganz vielleicht sogar neue musikalische Instrumente entwickeln, die dann wieder f�r alle Ohren angenehm klingen.