Mathematik - Menschenwerk oder Weltfundament?

Die Philosophie steht in diesem gro�en Buch geschrieben, dem Universum, das unserem Blick st�ndig offen liegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vetraut gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unm�glich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.
(Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623)

Unter diesem Motto er�ffnet am 5. November im Deutschen Technikmuseum Berlin die Ausstellung "mathema � Ist Mathematik die Sprache der Natur?". Sie zeigt "die Genese der Mathematik und ihre Anwendung im t�glichen Leben, aber auch ihre kreativen, k�nstlerischen und spielerischen Aspekte". Und stellt zudem spannende philosophische Fragen: Ist Mathematik eine menschliche Erfindung? Oder ist sie tats�chlich die fundamentale Sprache der Natur? Hat Mathematik Grenzen?

"Spektrum der Wissenschaft" hat begleitend zur Ausstellung nun ein "Spezial" herausgebracht. "Aber nicht nur einen Katalog der Ausstellung", so "Spektrum"-Redakteur Christoph P�ppe: "Wir bieten eine in die Tiefe gehende Erl�uterung mathematischer Konzepte, wie sie bei der mathema vorgestellt werden." Von h�heren Dimensionen �ber Tonleitern, von Funktionen und Wahrscheinlichkeitstheorie bis hin zu Fragen zum Stellenwert des Fachs in der Gesellschaft reicht das inhaltliche Spektrum.

**"Ist Mathematik die Sprache der Natur?"**

Bildzoom — **"Ist Mathematik die Sprache der Natur?"**

Und schlie�lich fragt Hadwig Dorsch, Abteilungsleiterin im Technikmuseum, sogar: "Ist die Mathematik grenzenlos?" In ihrem Essay �ber Emil du Bois-Reymonds und David Hilberts wortgewaltigen Streit �ber die Grenzen menschlicher Erkenntnisf�higkeit st��t sie aber auch auf ein "echtes Ignorabimus": "Wir k�nnen der Natur das Geheimnis nicht entrei�en, weil die Natur selbst es nicht kennt, genauer, weil es nicht existiert."

Vera Spillner

1. Mathematik als Sprache der Physik?

06.11.2008, Dr. Wolfgang Klein, 61273 Wehrheim

Physikalische Gesetze, d.h. die Aussagen, die eine physikalische Theorie �ber den Ausgang physikalischer Experimente macht, werden meist in Form mathematischer Gleichungen formuliert. Die Herleitung dieser Gleichungen basiert nur teilweise auf mathematischen Arbeitsweisen.

Einen wesentlichen Beitrag leisten Analogieschl�sse auf Basis von Anschauung oder auf Basis philosophischer Ordnungsvorstellungen, die mit Mathematik nur vage zu tun haben. Oft spielt Intuition eine Rolle. Hauptkriterium f�r die Gleichungen einer Theorie ist die Konsistenz der theoretischen Vorhersagen mit dem Experiment.

Ein fundamentaler Begriff der modernen Mathematik, der des Axiomensystems, spielt bei den Physikern �berhaupt keine Rolle. Beispielsweise ist mir bis heute nicht klar, welche physikalische Entsprechung beispielsweise das Auswahlaxiom (bzw. der Wohlordnungssatz bzw. das Zornsche Lemma) hat, ohne das die analytischen (im Sinne von "Analysis") Methoden der Physik gar nicht funktionieren w�rden.

Insofern ist f�r mich als Mathematiker vollkommen unklar, in welcher Weise die Mathematik ein physikalisches Weltfundament darstellen soll. Andererseits halte ich beispielsweise die nat�rlichen Zahlen f�r sehr real, viel realer als jede physikalische Theorie, die immer nur Wahrheit auf Abruf ist. Von Leopold Kronecker stammt der Satz "Gott schuf die nat�rlichen Zahlen, alles andere ist Menschenwerk". (Was auch immer Gott sein mag.)

2. Nur bedingt zutreffend

07.11.2008, J�rg Brehe, 31718 Pollhagen

Dem Leserbrief von Dr. Klein kann ich nur bedingt zustimmen. Wenn man die Arbeiten f�hrender theoretischer Physiker verfolgt � ich will hier nur auf Edward Witten, hinweisen �, dann sieht man die enge Verflechtung der Physik mit aktuellen Gebieten der Mathematik, wie etwa algebraische Topologie und nichtkommutative Geometrien. Elliptische Funktionen, Modulformen und anderes spielen eine wichtige Rolle in der Physik. Die Methoden von Perelman zum Beweis der Geometrisierungsvermutung von Thurston finden Anklang in einigen neueren Arbeiten in der theoretischen Physik zum Verst�ndnis des Universums. Physiker benutzen oft intuitiv Dinge wie den Satz von Tietze und Urysohn �ber die Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen. Begriffe aus der Mathematik wie Kategorien, Funktoren und Morphismen haben l�ngst Einzug gehalten in die Physik.

Die allgemeine Relativit�tstheorie baut auf den Arbeiten von Riemann auf. Und Riemann dachte, soweit ich wei�, sehr stark in Bildern. Seine Ideen zu den Riemannschen R�umen und meromorphen Funktionen haben auch sehr viel eher bei den Physikern Fu� gefasst als unter seinen Kollegen.

Umgekehrt scheinen gro�e Mathematiker wie Alain Connes auch die Physik (Quantenmechanik) als Treibstoff f�r ihre Ideen zu nehmen.

Es w�re sch�n, wenn Physiker und Mathematiker mehr aufeinander zugehen und ihre Gemeinsamkeiten entdecken w�rden.

Die Natur scheint die schon verstanden zu haben.

3. Mathematik - Die Sprache des Lebens

10.11.2008, Walburga Posch, 58332 Schwelm, Falkenweg 16

Der Artikel zur Vorstellung der neuen Ausgabe von Spektrum Spezial endet mit dem Zitat: "Wir k�nnen der Natur das Geheimnis nicht entrei�en, weil die Natur selbst es nicht kennt, genauer, weil es nicht existiert."
Wie sollte wohl die Natur sich nach mathematischen Gesichtspunkten entfalten, wenn sie diese nicht "kennen" w�rde. Gott sei Dank st�rt sich die existierende Mathematik nicht daran, dass immer noch Wissenschaftler glauben, es ginge ohne sie. Sie stellt unerm�dlich f�r ALLE ihre Information zur Verf�gung. Sonst s�hen wir alle ziemlich alt aus... (Zur weiteren Info siehe www.zahlengefluester.de)

Antwort der Redaktion:
Missverst�ndnis!

Das zitierte "Geheimnis" bezieht sich nicht auf die Natur im Ganzen, sondern auf die quantenmechanische Unbestimtheit. Zur Erkl�rung der "spukhaften Fernwirkung" bietet sich zun�chst die Erkl�rung durch "verborgene Variable" an, also Eigenschaften der Teilchen, die zwar von Anfang an vorhanden sind, die wir aber (aus mangelnder F�higkeit oder aus Prinzip) nicht messen k�nnen. Das w�re ein "Geheimnis der Natur". Durch Experimente ist bewiesen worden, dass es ein solches Geheimnis nicht gibt.

Das steht der Idee, dass das Buch des Universums in der Sprache der Mathematik geschrieben ist, nicht entgegen. Im Gegenteil: Das ganze Sonderheft "Mathema" befasst sich mit dieser Idee.

Christoph P�ppe, Redaktion

4. Mathematik und Physik - zu J�rg Brehe

12.11.2008, Dr. Wolfgang Klein

Hallo Herr Brehe,

ich bin angenehm �berrascht, dass zu diesem "trockenen" Thema doch noch eine Diskussion in Gang kommt.

Algebraische Topologie war mein Hauptfach bei der Mathematik-Promotion und Symmetrien mein Schwerpunkt im Nebenfach Physik. In letzter Zeit habe ich mich (hobbym��ig) ein wenig mit Stringtheorie befasst. Leider kann ich Ihnen gerade beim Thema "Stringtheorie" auch nicht zustimmen, dass Mathematik hier axiomatisch fundiert eingesetzt wird, weil alle wesentlichen Grundannahmen, angefangen bei den verwendeten Symmetriegruppen bis hin zu den hochspeziellen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten als Tr�gerr�ume der physikalischen Erscheinungen, �ber Analogieschl�sse quasi vom Himmel fallen. Es gibt dabei so viele Annahmen, dass nach dem Artikel von Prof. Nicolai im Spektrum 11/08 10 hoch 500 Stringtheorie-Flavours experimentell zu �berpr�fen w�ren, was praktisch unm�glich ist. Gerade die Eigenschaften von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten - sie sind insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten - h�ngen massiv von der G�ltigkeit des Auswahlaxioms ab, was physikalisch weder nachgewiesen noch �berhaupt Gegenstand der Forschung ist. Physikalisch sind �brigens die Annahmen umstritten, die zur Verwendung von Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten f�hren, d. h. wir haben es hier bis zu einer experimentellen �berpr�fung mit einer hochspekulativen Ansichtssache zu tun. Nicht einmal die methodisch einfachere Theorie der Supersymmetrie ist bis jetzt auch nur durch ein einziges Experiment best�tigt.

Interessant ist, dass zur �berpr�fung von solch hochspekulativen Theorien, die im Kern nur auf intuitiven Analogieschl�ssen basieren, beispielsweise f�r den Bau des LHC sagenhafte drei Milliarden Euro aufgebracht werden.

Im �brigen verweise ich auf die antiquarische Trilogie von Adalbert Duschek �ber Tensorrechnung aus den 40er Jahren, in deren Einleitung er sich �ber die teilweise unsinnige Anwendung der Tensorrechnung durch Physiker und Ingenieure �u�ert. Als Wissenschaftler wissen wir, dass eine Theorie nicht unbedingt korrekt sein muss, auch wenn sie einem Genie wie Edward Witten stammt, der als einziger Physiker bisher die Fieldsmedallie erhalten hat. Die Ehrfurcht vor Auszeichnungen und wissenschaftlichem Ruhm geh�rt weder zur Methode der Naturwissenschaften noch der Mathematik. Ein Beispiel f�r eine vollst�ndige Fehleinsch�tzung eines ber�hmten Physikers sind Theorien von Landau zur Hydrodynamik, die sp�ter von der Chaosforschung korrigiert wurden.

Niemand bestreitet, dass die Physik ein massives Einsatzgebiet der Mathematik ist oder dass es zwischen den beiden Fachgebieten immer wieder zu befruchtenden Querbeziehungen kommt. Das ist historisch hinreichend belegt. Dies �ndert aber nichts daran, dass die Arbeitsweise eines theoretischen Physikers sich erkenntnistheoretisch fundamental von der Arbeitsweise eines Mathematikers unterscheidet.